Одна из основных задач мореплавания в целом и навигации в частности заключается в оптимизации путей судов. В общем случае предпочтение отдается плаванию по кратчайшим расстояниям.
На эллипсоиде кратчайшим расстоянием между двумя точками является геодезическая линия. Это сложная линия двоякой кривизны которая рассматривается в курсе высшей геодезии. Процесс ее расчета, прокладки на карте, а тем более проводки по ней судна достаточно трудоемок.
На практике решение этой проблемы упрощают, рассматривая кратчайшее расстояние между двумя точками на шаре. При необходимости решения задач на эллипсоиде пользуются поправками за сфероидичность Земли, выбираемыми из специальных таблиц, помещенных в сборнике "Мореходные таблицы".
На шаре линией кратчайшего расстояния является дуга большого круга (ДБК), которую называют ортодромией. В переводе с греческого языка ортос - прямой, дромос - проход, бег.
Через две произвольные точки шара В1 и В2 (рис. 1.9) можно провести только одну ортодромию, так как плоскость ДБК проведена через три точки: В1, В2 и центр Земли.
Треугольник МВ1b1 прямоугольный, так как меридиан пересекается с экватором в точке M под углом 90°. Поскольку стороны этого треугольника являются дугами окружностей больших кругов, то решают его, используя формулы сферической тригонометрии.
Применяя к треугольнику МВ1b1 формулу тангенса катета прямоугольного сферического треугольника, можно записать



Это выражение справедливо для любой точки ортодромии, поэтому полученное выражение является ее уравнением:

где λ0 и А0 — параметры ДБК (λ0 — долгота пересечения ДБК с экватором, Ao — направление ДБК в этой точке). Для определения Ao и λ0 используют формулы:

ДБК достигает максимальной широты в точке V, которая называется "вертекс". Вертексов два: один в северном полушарии (виден на рисунке), другой — в южном.
Координаты вертекса:

Проанализируем полученные выражения с целью определения свойств ортодромии. Свойства ортодромии.
1. Из выражения (1.18) и рис. 1.9 видно, что меридиан вертекса является плоскостью симметрии ортодромии. То есть ортодромия пересекает каждый меридиан два раза в долготах:

λi и λi'= 2λν — λi

2. Из выражения (1.17):
если Аo = 90° (270°), то ортодромия совпадает с меридианом, если Ao = 0° (180°), то ортодромия совпадает с экватором.
3. Из выражения (1.14) видно, что если неоднократно изменять долготу λ на 360° (предположим, что совершается кругосветное путешествие по ортодромии), то правая часть уравнения не изменяется. Не изменится и левая часть — широта постоянна. Значит ортодромия пересекает каждый меридиан каждый раз в одной и той же точке. Ортодромия — замкнутая кривая.

4. Судоводителей особо интересует направление ортодромии, то есть угол А, под которым ортодромия пересекает меридианы (курс ортодромии). Применяя теорему четырех рядом лежащих элементов сферической тригонометрии к треугольнику Β1ΡΝΒ2, после преобразований получим:

Видно, что А = f(φi,λi), т. е. курс ДБК зависит от координат точек В1 и В2. Следовательно, ортодромия пересекает все меридианы под различными углами:

Разность углов, под которыми ортодромия пересекает меридианы двух точек, называется схождением (сближением) меридианов и обозначается буквой γ (гамма) греческого алфавита:

Формула для расчета γ может быть выведена из сферического треугольника Β1ΡΝΒ2 . Для этого следует использовать формулы сферической тригонометрии, называемые аналогиями Непера

Применяя их к сферическому треугольнику Β1ΡΝΒ2, получим:

После преобразований

Обозначим:— средняя широта.

 Считая, что при плавании на расстояния до 500 миль получим:
Вместе с тем на малых расстояниях угол γ тоже мал:

тогда γ = Δλsin φcp.
Следует заметить, что угол γ имеет знак, который зависит как от знака Δλ, так и от знака φcp.
При всех своих преимуществах ортодромия неудобна для плавания, так как для удержания на ней судна пришлось бы непрерывно изменять его курс.