Для использования в практике мореплавания весьма удобна линия пути, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом. По этой линии судоводители могут вести суда, не изменяя при этом курса. Такая линия давно известна математикам, картографам и мореплавателям. Она и называется локсодромией. Вывел ее уравнение и описал вместе с ортодромией голландский математик Снеллиус в 1624 г. В переводе с греческого языка локсос — косой, дромос — проход, бег.

Так как меридианы непараллельны, то и локсодромия (рис. 1.10), пересекающая их под равными углами не является прямой. Она представляет собой логарифмическую спираль — линию двоякой кривизны, которая асимптотически стремится к полюсу.

Для выявления свойств локсодромии выведем ее уравнение, принимая при этом Землю за шар. Рассмотрим элементарно малый отрезок локсодромии, проведенный через две точки Β1 и В2 (рис. 1.11).

Длина дуги параллели СВ2 и длина дуги меридиана СВ1, заключенные между этими двумя точками, определяются, исходя из длины радиусов и величины центрального угла:

Треугольник B1СВ2 по малости можно считать плоским:

После подстановок

При переходе от элементарно малых приращений к бесконечно малым

Для решения полученного дифференциального уравнения, оно проинтегрировано в пределах изменения переменных:

Получен табличный интеграл, решение которого дает уравнение локсодромии на шаре:

Для эллипсоида (с учетом сфероидичности Земли)

Свойства локсодромии.
Из анализа уравнения (1.23) можно сделать следующие выводы.

1. При К= 0° (180°) tg К= 0; λ2 - λ1 = 0; λ2 = λ1
То есть в этих случаях локсодромия совпадает с меридианом.
2. При К = 90° (270°) tg К= бесконечности; λ2 — λ1 — конечная величина, поэтому необходимо, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, а это возможно лишь при φ2 = φ1
Вывод: в этих случаях локсодромия совпадает с параллелью. В частном случае, при φ2 = φ1 = 0° локсодромия совпадает с экватором.

и уравнение локсодромии примет вид:


Подставляя значения λ2 через каждые 360° (плавание вокруг света по локсодромии) можно заметить, что каждому новому значению долготы соответствует новое значение широты. Иначе говоря, локсодромия пересекает каждый меридиан бесчисленное количество раз, но каждый раз в новой широте. Из анализа левой части уравнения виден предел, к которому при этом стремится широта:

Локсодромия представляет собой логарифмическую спираль, асимптотически стремящуюся к полюсу.

Решая уравнение (1.23) относительно К, получим формулу расчета курса для плавания по локсодромии из одной точки в другую:

Локсодромия удобна для проводки судна из одной заданной точки в другую, однако не является кратчайшим расстоянием между этими точками.