Величины искажений являются одним из основных критериев оценки достоинства карты. При картографировании искажения неизбежны, однако они подчиняются некоторым закономерностям и поэтому поддаются учету при работе на карте. Полную и наглядную характеристику искажений любой проекции в любой ее точке дает эллипс искажений (индикатриса). Эллипс искажений подобен изображению на карте бесконечно малой окружности на поверхности Земли с центром в этой точке. На земной поверхности (рис. 4.1) показана окружность бесконечно малого радиуса ro с центром в точке Мo. Отрезки меридиана и параллели точки Мo, ограниченные этой бесконечно малой окружностью, спроектированы на плоскость.

В общем случае вследствие бесконечно малой их величины эти отрезки изобразятся прямыми линиями, но пересечение их на карте в точке Μ обычно уже не образует прямого угла. Если на земной поверхности точка окружности Рo имеет прямоугольные координаты хo и уo, то проекция этой точки Ρ на плоскости проекции (карте) имеет косоугольные координаты χ и у.

Обозначив масштаб вдоль меридиана т, а вдоль параллели я, согласно определению масштаба:

Так как на земной поверхности была показана окружность, то ее уравнение

С учетом выражений для m и n уравнение кривой, изображающей исходную окружность на карте в данном масштабе, будет иметь вид:



Полученное выражение является уравнением эллипса в сопряженных полудиаметрах.

Из множества взаимно перпендикулярных диаметров исходной окружности всегда имеются два, которые в проекции изображаются главными осями эллипса искажений. Направления этой пары называют главными направлениями. Во многих картографических проекциях главные направления не совпадают с меридианами и параллелями. Однако именно по этим направлениям значения масштабов экстремальны:

• вдоль большой оси эллипса масштаб максимален


• вдоль малой оси эллипса масштаб минимален



Считая ro = 1, μmах = а,μmin = b.

Эллипс искажений в данной точке данной проекции выражает не только вектор максимального и минимального искажений, но также общий характер и степень искажений по любому другому направлению. Это его свойство позволяет оценивать основные характеристики картографических проекций: масштабы площадей p, масштабы длин μ, искажения углов ω.